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Open Access
Joint DOA and DOD Estimation Using KR-MUSIC for Overloaded Target in Bistatic MIMO Radars
Open Access
Estimation conjointe DOA et DOD à l'aide de KR-MUSIC pour une cible surchargée dans les radars bistatiques MIMO

Chih-Chang SHEN, Jia-Sheng LI

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Résumé:

Cette lettre traite du problème d'estimation conjointe de la direction d'arrivée et de la direction de départ pour une cible surchargée dans un système radar bistatique à entrées multiples et sorties multiples. Afin d'atteindre l'objectif d'une estimation efficace, l'estimateur Khatri-Rao (KR) MUSIC présenté, capable de gérer des cibles surchargées, combine principalement les caractéristiques sous-spatiales du signal d'onde réfléchi de la cible et le produit KR basé sur la réponse du réseau. Cette lettre présente également une technique d'estimation de matrice de projection de sous-espace de bruit KR efficace sur le plan informatique pour réduire la charge de calcul due à la décomposition de valeurs singulières de grande dimension. Enfin, l'efficacité de la méthode proposée est vérifiée par simulation informatique.

Publication
IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals Vol.E107-A No.4 pp.675-679
Date de publication
2024/04/01
Publicisé
2023/08/07
ISSN en ligne
1745-1337
DOI
10.1587/transfun.2023EAL2028
Type de manuscrit
LETTER
Catégories
Technologies et applications à spectre étalé

1. Introduction

Ces dernières années, la technologie émergente des radars à entrées multiples et sorties multiples (MIMO) a suscité un immense intérêt dans l'industrie des radars [1]. Contrairement aux radars bistatiques conventionnels, les radars MIMO peuvent mettre en œuvre une estimation d'angle de la direction d'arrivée (DOA) et de la direction de départ (DOD) de plusieurs cibles avec des extrémités de réception et de transmission asynchrones. Certaines technologies adaptatives sont appliquées à l'estimation d'angle du radar MIMO [2]-[7]. La réponse sans distorsion à variance minimale (MVDR) bidimensionnelle (2D) [2] et la classification de signaux multiples (MUSIC) [3] peuvent automatiquement discerner le problème des angles spatiaux 2D au niveau du récepteur du radar MIMO. De plus, si les cibles sont distribuées indépendamment, les coefficients de réflexion non corrélés des cibles peuvent être utilisés pour détecter jusqu'à un de moins que le produit des nombres d'éléments de réseau d'antennes de réception et d'émission. Pour réduire la charge de calcul, la technique ESPRIT-root-MUSIC [4] a utilisé les approches ESPRIT et root-MUSIC pour estimer respectivement le DOA et le DOD. Basée sur la théorie de la reconstruction matricielle de bas rang, une étude [5] a proposé une méthode différente de la méthode de vectorisation conventionnelle qui utilisait l'interpolation de capteurs virtuels pour traiter des tableaux copremiers et obtenir un réseau linéaire uniforme (ULA) pour générer des matrices de covariance. Le balayage des radars bistatiques peut atteindre des degrés de liberté plus élevés que ceux des radars conventionnels, et ces degrés de liberté peuvent être utilisés pour améliorer les capacités analytiques d'estimation d'angle et surmonter l'encombrement ; cependant, si le nombre de cibles à détecter dépasse celui des cibles analysables maximales (c'est-à-dire qu'une surcharge se produit) [6], les performances d'estimation de la direction et de l'angle de la cible diminueraient largement et la cible deviendrait impossible à distinguer. Ainsi, développer une méthode de mise en œuvre d’une estimation de direction avec des capacités analytiques favorables dans un environnement avec des nombres cibles surchargés est un sujet de recherche crucial et stimulant.

Dans cette lettre, un radar bistatique MIMO a été utilisé pour traiter les problèmes d'estimation DOA et DOD dans des conditions de cible surchargée. Si les réseaux émetteur et récepteur d'un système radar bistatique sont composés d'ULA avec \({M}\) et à la \({N}\) composants, respectivement, la dimension vectorielle des données de sortie globales du système est \({MN\times 1}\). La méthode proposée utilise principalement les caractéristiques sous-spatiales de la matrice de corrélation des signaux d’ondes de réflexion cibles. La méthode développée implique le sous-espace formé par le produit Khatri-Rao (KR) des réponses du tableau ; c'est pourquoi on l'appelle l'approche du sous-espace KR. Le sous-espace KR obtient des résultats significatifs en permettant de surdéterminer physiquement des problèmes DOA et DOD physiquement sous-déterminés dans certaines conditions. Bien que les degrés de liberté du sous-espace KR soient \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\), une étude [7] a vérifié que le KR-MUSIC combinant le sous-espace KR et MUSIC peut clairement en identifier autant que \(2MN-2\) objectifs, ce qui marque une amélioration notable par rapport à la limite de \(MN-1\) cibles de la MUSIQUE [3]. De plus, pour réduire la complexité du calcul, une technique d'estimation de matrice de projection de sous-espace de bruit approximatif KR (AKR) efficace sur le plan informatique a été présentée pour KR-MUSIC dans cette lettre. Bien qu'elle soit similaire à celle de la méthode décrite dans [8]. Mais la méthode de [8] est présentée pour reconstruire le sous-espace de signal conventionnel et la matrice de projection du sous-espace de bruit en utilisant la décomposition des valeurs propres pour les statistiques du second ordre. Le KR-MUSIC utilise des données de matrices de corrélation pleine dimension pour construire des sous-espaces, tandis que l'AKR-MUSIC proposé utilise des matrices de corrélation de vectorisation de dimension partielle comme sorties et utilise la méthode Nyström [9] pour reconstruire un sous-espace de signal AKR et une matrice de projection de sous-espace de bruit AKR. pour réduire la charge de calcul de la décomposition en valeurs singulières (SVD) de grande dimension. Par conséquent, les résultats de simulation peuvent vérifier l’efficacité de la méthode proposée.

2. Formulation du problème

2.1 Modèle de signaux

Les réseaux d'émetteurs et de récepteurs d'un système radar MIMO bistatique à bande étroite comprennent un ULA avec \(M\) et à la \(N\) composants, respectivement. Si tous les composants du réseau sont des antennes omnidirectionnelles avec des amplitudes unitaires, les distances entre les composants du réseau émetteur et récepteur peuvent être représentées comme \(d_{\scriptscriptstyle t}\) et à la \(d_{\scriptscriptstyle r}\), respectivement. L'antenne émettrice transmet des formes d'onde orthogonales avec des bandes passantes et des fréquences centrales identiques. En outre, \(K\) On a supposé que les cibles non cohérentes tombaient dans le champ lointain des réseaux d’antennes et dans la zone de portée. L'angle entre le vecteur normal de l'onde progressive plane des signaux électromagnétiques réfléchis par la cible et les réseaux d'antennes émetteur et récepteur du système radar bistatique était \((\theta_{\scriptscriptstyle k},\phi_{\scriptscriptstyle k})\), Où \(\theta_{\scriptscriptstyle k}\) et à la \(\phi_{\scriptscriptstyle k}\) sont les angles DOA et DOD \((k=1, 2, \cdots, K)\) des \(k\)ème cible par rapport aux réseaux d’émetteurs et de récepteurs. Si \(K\) les cibles existent dans un environnement, la sortie passant le filtre correspondant peut être écrite comme

\[\begin{equation*} \textbf{y}(t)=\textbf{G}(\theta,\phi)\textbf{s}(t)+\textbf{n}(t) \tag{1} \end{equation*}\]

De \({\textbf{G}(\theta,\phi)=[\textbf{g}(\theta_{\scriptscriptstyle 1},\phi_{\scriptscriptstyle 1}), \textbf{g}(\theta_{\scriptscriptstyle 2},\phi_{\scriptscriptstyle 2}), \cdots, \textbf{g}(\theta_{\scriptscriptstyle K},\phi_{\scriptscriptstyle K})]}\) est une matrice de pilotage avec des dimensions \({MN\times K}\), \(\textbf{g}(\theta,\phi)=\textbf{a}(\theta)\otimes\textbf{b}(\phi)\) et \({\otimes}\) représente le produit Kronecker. Si \(Q\) est le nombre d'ondes de pouls transmises et \((\bullet)^{\scriptscriptstyle T}\) représente l'opération de transposition, le réseau d'antennes du récepteur avec \(N\times 1\) le vecteur de direction est \(\textbf{a}(\theta_{\scriptscriptstyle k})=[1\), \(e^{j2\pi d_{\scriptscriptstyle r}\sin\theta_{\scriptscriptstyle k}/\lambda}\), \(e^{j2\pi 2d_{\scriptscriptstyle r}\sin\theta_{\scriptscriptstyle k}/\lambda}\), \(\cdots\), \(e^{j2\pi (N-1)d_{\scriptscriptstyle r}\sin\theta_{\scriptscriptstyle k}/\lambda} ]^{\scriptscriptstyle T}\), et le réseau d'émetteurs avec \(M\times 1\) le vecteur de direction est \(\textbf{b}(\phi_{\scriptscriptstyle k})=[1\), \(e^{j2\pi d_{\scriptscriptstyle t}\sin\phi_{\scriptscriptstyle k}/\lambda}\), \(e^{j2\pi 2d_{\scriptscriptstyle t}\sin\phi_{\scriptscriptstyle k}/\lambda}\), \(\cdots\), \(e^{j2\pi (M-1)d_{\scriptscriptstyle t}\sin\phi_{\scriptscriptstyle k}/\lambda} ]^{\scriptscriptstyle T}\), Où \(\lambda\) est la longueur d'onde. Étant donné que le réseau de récepteurs reçoit les signaux d'écho de la cible, le vecteur de signal d'écho est \(\textbf{s}(t)=[s_{\scriptscriptstyle 1}(t)\), \(s_{\scriptscriptstyle 2}(t)\), \(\cdots\), \(s_{{\scriptscriptstyle K}}(t)]^{\scriptscriptstyle T}\), Où \(s_{\scriptscriptstyle k}(t)=\beta_{\scriptscriptstyle k}e^{{j\omega_{{{_{dk}}}}t}}\), \(\beta_{\scriptscriptstyle k}\) représente la somme du coefficient de réflexion et de l'affaiblissement de trajet déterminé par la section efficace radar du \(k\)la cible, et \(\omega_{_{dk}}\) représente la fréquence Doppler correspondant à la \(k\)la cible. \(\textbf{n}(t)\) représente le vecteur bruit ; ses éléments sont supposés avoir une distribution gaussienne avec une moyenne et une variance nulles \(\sigma_{\scriptscriptstyle n}^2\).

2.2 Estimateur KR-MUSIC

Cette sous-section traite de l'utilisation du KR-MUSIC [7] pour effectuer une estimation DOA et DOD pour des cibles surchargées dans les radars bistatiques. Premièrement, si la période d'observation des signaux d'écho est un processus en régime permanent et que le nombre d'échantillons obtenus par échantillonnage de trame est \(Q\) (\(Q\geq MN\) et à la \(E\{\left| s_{\scriptscriptstyle k}(t)\right| ^{\scriptscriptstyle 2}\}=\sigma_{\scriptscriptstyle{fk}}^{\scriptscriptstyle 2}\) pour satisfaire aux exigences statistiques), alors le \(f\)ème matrice de corrélation locale \(\textbf{R}_{\scriptscriptstyle f}=E\{\textbf{y}(t)\textbf{y}^{\scriptscriptstyle H}(t)\}\in \mathbb{C}^{{\scriptscriptstyle{MN\times MN}}}\), \(\forall t \in[(f-1)Q, fQ-1]\), Où \(f=1, 2, \cdots, F\) et à la \(F\) est le nombre d'images. Ces matrices de corrélation locales peuvent être estimées en fonction de la moyenne temporelle des périodes d'observation. Autrement dit, \(\mathbf{\hat{R}}_{\scriptscriptstyle f}=(1/Q)\sum_{\scriptscriptstyle {t=(f-1)Q}}^{\scriptscriptstyle{fQ-1}} \textbf{y}(t)\textbf{y}^{\scriptscriptstyle H}(t)\). Alors, \(\mathbf{R}_{\scriptscriptstyle f}\) est donné par

\[\begin{equation*} \mathbf{R}_{\scriptscriptstyle f}= \textbf{G}(\theta,\phi)\textbf{D}_{\scriptscriptstyle f}\textbf{G}^{\scriptscriptstyle H}(\theta,\phi)+\sigma_{\scriptscriptstyle n}^{\scriptscriptstyle 2}\textbf{I}_{{\scriptscriptstyle {MN}}} \tag{2} \end{equation*}\]

où la matrice de corrélation de la source de signal d'onde de réflexion du \(f\)le cadre \(\textbf{D}_{\scriptscriptstyle f}=\textit{diag}\{\textbf{d}_{\scriptscriptstyle f}\}\in \mathbb{R}^{{{\scriptscriptstyle{ K\times K}}}}\) et \(\textbf{d}_{\scriptscriptstyle f}=[\sigma_{\scriptscriptstyle {f1}}^{\scriptscriptstyle 2}, \sigma_{\scriptscriptstyle{f2}}^{\scriptscriptstyle 2}, \cdots, \sigma_{\scriptscriptstyle {fK}}^{\scriptscriptstyle 2} ]^{\scriptscriptstyle T}\). Si de nombreuses matrices de corrélation locales \(\textbf{R}_{\scriptscriptstyle 1}, \textbf{R}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots, \textbf{R}_{\scriptscriptstyle F}\) sont disponibles, le DOA et le DOD \(\{\theta_{\scriptscriptstyle k},\phi_{\scriptscriptstyle k}\}\) des objectifs peuvent être estimés sur la base de \(\{\textbf{R}_{\scriptscriptstyle 1}, \textbf{R}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots, \textbf{R}_{\scriptscriptstyle F}\}\) sans connaître les matrices de corrélation \((\textbf{D}_{\scriptscriptstyle 1}, \textbf{D}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots, \textbf{D}_{\scriptscriptstyle F})\) de sources de signaux locales ou la matrice de covariance du bruit spatial \(\sigma_{\scriptscriptstyle n}^{\scriptscriptstyle 2}\textbf{I}_{{\scriptscriptstyle{MN}}}\).

Tout d'abord, \(\textbf{R}_{\scriptscriptstyle f}\) est vectorisé avec \(\textbf{y}_{\scriptscriptstyle f}\triangleq \mathrm{vec}\{\textbf{R}_{\scriptscriptstyle f}\}=\textbf{C}(\theta,\phi)\textbf{d}_{\scriptscriptstyle f}+\mathrm{vec}\{\sigma_{\scriptscriptstyle n}^{\scriptscriptstyle 2}\textbf{I}_{\scriptscriptstyle{MN}}\}\), Où \(\textbf{C}(\theta,\phi)=\textbf{G}^*(\theta,\phi) \odot \textbf{G}(\theta,\phi)\in \mathbb{C}^{{\scriptscriptstyle{ (MN)^{\scriptscriptstyle 2}\times K}}}\), \(\mathrm{vec}\{\bullet\}\) représente la vectorisation de la matrice, et le symbole \(\odot\) représente le produit KR. Ensuite, en empilant \([\textbf{y}_{ \scriptscriptstyle 1},\textbf{y}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots, \textbf{y}_{\scriptscriptstyle F} ]\triangleq \textbf{Y}\), la matrice de corrélation vectorisée \(\textbf{Y}\) peut s'exprimer comme suit :

\[\begin{equation*} \textbf{Y}=\textbf{C}(\theta,\phi)\mathbf{\Psi}^{\scriptscriptstyle T}+\mathrm{vec}\{ \sigma_{\scriptscriptstyle n}^{\scriptscriptstyle 2}\textbf{I}_{{\scriptscriptstyle{MN}}}\}\textbf{1}^{{\scriptscriptstyle T}}_{{\scriptscriptstyle F}} \tag{3} \end{equation*}\]

De \(\textbf{C}(\theta,\phi)=[\textbf{c}(\theta_{\scriptscriptstyle 1}, \phi_{\scriptscriptstyle 1}), \textbf{c}(\theta_{\scriptscriptstyle 2}, \phi_{\scriptscriptstyle 2}), \cdots, \textbf{c}(\theta_{\scriptscriptstyle K}, \phi_{\scriptscriptstyle K})]\), \(\textbf{1}_{\scriptscriptstyle F}=[1, \cdots, 1]^{\scriptscriptstyle T}\), \(\mathbf{\Psi}=[\textbf{d}_{\scriptscriptstyle 1}, \textbf{d}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots, \textbf{d}_{{\scriptscriptstyle F}}]^{\scriptscriptstyle T}\) et \(\textbf{d}_{\scriptscriptstyle f}=[\sigma^{\scriptscriptstyle 2}_{{\scriptscriptstyle f1}},\sigma^{\scriptscriptstyle 2}_{{\scriptscriptstyle f2}}, \cdots, \sigma^{\scriptscriptstyle 2}_{\scriptscriptstyle {fK}}]^{\scriptscriptstyle T}\) avec \(f=1, 2, \cdots, F\). \(\textbf{C}(\theta,\phi)\) est une matrice de réponse de tableau virtuel, et \(\textbf{d}_{\scriptscriptstyle f}\) est un vecteur source de signal. La dimension du tableau virtuel est \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\). Si \(MN>1\), les dimensions du tableau virtuel sont supérieures aux dimensions réelles du tableau. Si le nombre d'éléments du réseau est inférieur au nombre de cibles, les degrés de liberté peuvent être effectivement augmentés pour permettre de gérer un plus grand nombre de cibles, notamment des signaux d'identification dans des systèmes surchargés. De plus, chaque vecteur ligne \(\textbf{d}_{\scriptscriptstyle f}\) sur matrice \(\mathbf{\Psi}\) décrit la puissance de la source du signal de réflexion par rapport aux trames ou la variation de la distribution de puissance à long terme dans le temps. En pratique, la distribution de puissance de la source de signal d'onde de réflexion peut différer dans le temps ; ainsi, \(\mathbf{\Psi}\) peut conserver son plein rang.

Le SVD de \(\textbf{Y}\) est défini comme suit:

\[\begin{equation*} \textbf{Y}=\left [ \begin{array}{cc} \textbf{U}_{\scriptscriptstyle s}&\textbf{U}_{\scriptscriptstyle n} \end{array}\right] \left [ \begin{array}{cc} \mathbf{\Sigma}_{\scriptscriptstyle s}&\textbf{0} \\ \textbf{0}&\textbf{0} \end{array}\right] \left [ \begin{array}{cc} \textbf{V}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle s} \\ \textbf{V}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n} \end{array}\right] \tag{4} \end{equation*}\]

De \(\textbf{U}_{\scriptscriptstyle s}=[\textbf{u}_{\scriptscriptstyle 1}\), \(\textbf{u}_{\scriptscriptstyle 2}\), \(\cdots\), \(\textbf{u}_{\scriptscriptstyle K}]\in \mathbb{C}^{{(MN)^2\times K}}\) et \(\textbf{V}_{\scriptscriptstyle s}\in \mathbb{C}^{{F\times K}}\), respectivement, représentent les matrices singulières gauche et droite de valeurs singulières non nulles. \(\textbf{U}_{\scriptscriptstyle n}\in \mathbb{C}^{(MN)^2\times (M^2N^2-K)}\) et à la \(\textbf{V}_{\scriptscriptstyle n}\in \mathbb{C}^{F\times (M^{2}N^{2}-K)}\) sont des matrices singulières gauche et droite, respectivement, associées à ces valeurs singulières nulles. La diagonale de la matrice diagonale \(\mathbf{\Sigma}_{\scriptscriptstyle s}=diag\{[\sigma_{\scriptscriptstyle 1}\), \(\sigma_{\scriptscriptstyle 2}\), \(\cdots\), \(\sigma_{\scriptscriptstyle K}]\}\in\mathbb{R}^{\scriptscriptstyle{ K\times K}}\) contient des valeurs singulières non nulles, où \(\sigma_{\scriptscriptstyle k}\) est une valeur singulière avec \(k=1, 2, \cdots, K\). Les signaux d'ondes de réflexion cibles satisfont \(\textbf{U}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}[\textbf{G}^*(\theta_{\scriptscriptstyle k}\), \(\phi_{\scriptscriptstyle k})\odot \textbf{G}(\theta_{\scriptscriptstyle k}\), \(\phi_{\scriptscriptstyle k})=\textbf{U}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}[\textbf{g}^*(\theta_{\scriptscriptstyle k}\), \(\phi_{\scriptscriptstyle k})\otimes \textbf{g}(\theta_{\scriptscriptstyle k}\), \(\phi_{\scriptscriptstyle k})]=\textbf{0}\) XNUMX \(k=1, 2, \cdots, K\). Ainsi, la loi du sous-espace KR pour l’estimation DOA et DOD s’exprime comme suit :

\[\begin{equation*} \begin{split} &\text{Find } \{\theta,\phi\} \\ &\text{ such that } \textbf{U}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}\textbf{c}(\theta,\phi)=\textbf{0}, \{\theta,\phi\}\in [-90 ^\circ, 90^\circ] \end{split} \tag{5} \end{equation*}\]

De \(\textbf{c}(\theta,\phi)=\textbf{g}^*(\theta,\phi)\otimes \textbf{g}(\theta,\phi)\). De la même manière que le développement du sous-espace, si \(\{\theta,\phi\}\) est le DOA et le DOD réels de la cible, l'inférence dans [7] suggère que (5) est satisfait et identifiable lorsque les deux affirmations suivantes sont vraies : la matrice de réponse du tableau virtuel \(\textbf{G}^*(\theta,\phi)\odot \textbf{G}(\theta,\phi)\) peut générer un classement de ligne complet (rank=\(K\)) si et seulement si \(K\leq 2MN-1\); la loi du sous-espace KR peut être réalisée en utilisant n'importe quelle paire d'angles réels dans \(\{\theta_{\scriptscriptstyle k}, \phi_{\scriptscriptstyle k}\}\), \(k=1, 2, \cdots, K\) si et seulement si \(K\leq 2MN-2\). En particulier, dans le cadre de la structure du sous-espace KR, une estimation indéterminée de DOA et de DOD peut être effectuée.

Nous pouvons appliquer directement la loi du sous-espace KR de (5) pour développer le KR-MUSIC pour l'estimation DOA et DOD. En raison de l'orthogonalité des deux sous-espaces, \(\parallel\textbf{U}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}\textbf{c}(\theta_{\scriptscriptstyle k},\phi_{\scriptscriptstyle k})\parallel^{\scriptscriptstyle 2}=\textbf{0}\), \(k=1, 2, \cdots, K\). L'approche conventionnelle pour estimer simultanément DOA et DOD implique que l'approche de radiogoniométrie implique la recherche de la valeur maximale dans le spectre virtuel. La fonction de recherche est donnée par

\[\begin{equation*} P_{\scriptscriptstyle\mathrm{_{KR-M}}}(\hat\theta,\hat\phi)=\mathrm{Max}[\textbf{c}^{\scriptscriptstyle H}(\theta,\phi)\textbf{U}_{\scriptscriptstyle n}\textbf{U}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}\textbf{c}(\theta,\phi)]^{\scriptscriptstyle{-1}} \tag{6} \end{equation*}\]

De \(\textbf{U}_{\scriptscriptstyle n}\) est le sous-espace de bruit KR dérivé de (4). \(\textbf{c}(\theta,\phi)=\textbf{g}^*(\theta,\phi)\otimes \textbf{g}(\theta,\phi)\) est le vecteur de balayage directionnel du domaine spatial, les angles de direction correspondant aux valeurs maximales étant les DOA et DOD estimés.

Le KR-MUSIC devrait permettre l'estimation du DOA et du DOD sur \(K\leq 2MN-2\) cibles. Étant donné le signal reçu \(\{\textbf{y}(t)\}\), numéro cible \(K\), Numéro de cadre \(F\), et le nombre d'échantillons \(Q\) obtenu dans chaque image, le KR-MUSIC est implémenté comme suit :

  • Étape 1. Calculer \(\{\hat{\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle f}\}^{\scriptscriptstyle{F}}_{\scriptscriptstyle{f=1}}\).
  • Étape 2. Formulaire \({\textbf{Y}}=[\mathrm{vec}\{\hat{\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle 1}\},\mathrm{vec}\{\hat{\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle 2}\}, \cdots, \mathrm{vec}\{\hat{\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle F}\} ]\).
  • Étape 3. Extraire les sous-espaces KR : effectuez un SVD sur \({\textbf{Y}}\) et obtenir \(\textbf{U}_{\scriptscriptstyle n}\) du \(\textbf{U}\).
  • Étape 4. KR-MUSIC : Calculer le spectre \(P_{\scriptscriptstyle{\mathrm{KR-M}}}(\theta,\phi)\) on \(\{\theta,\phi\}\in [-90 ^\circ, 90^\circ]\) et identifier les angles correspondant à la \(K\) valeurs maximales de \(P_{\scriptscriptstyle{\mathrm {KR-M}}}(\theta,\phi)\), qui sont les résultats de l’estimation DOA et DOD.

Bien que cette technique de sous-espace KR puisse gérer des systèmes surchargés, la charge de calcul augmentera considérablement si les dimensions de la matrice sont augmentées de \(MN\) à \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\), en particulier lors de l'extraction du sous-espace SVD.

3. Estimateur AKR-MUSIC

L'estimateur AKR-MUSIC exploite la version Nyström pour reconstruire le sous-espace de bruit KR, et son point clé est d'utiliser des dimensions appropriées. \(N_{\scriptscriptstyle {\mathrm{a}}}\) pour parvenir au compromis entre la complexité de calcul et les performances d’estimation. Premièrement, si les dimensions de la matrice de corrélation vectorisée \(\textbf{Y}\) \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\times F\), matrice de données \(\tilde{\textbf{Y}}\) avec \(N_{\scriptscriptstyle{\mathrm{a}}}\times F\) les dimensions représentent le résultat de l'extraction des éléments de la ligne 1 à la ligne \(N_{\scriptscriptstyle{\mathrm{a}}}\) of \(\textbf{Y}\). Ensuite, le SVD de \(\tilde{\textbf{Y}}\) peut être calculé comme \(\tilde{\textbf{Y}}=\tilde{\textbf{U}}_{\scriptscriptstyle{\tilde{Y}}} \tilde{\mathbf{\Sigma}}_{\scriptscriptstyle{\tilde{Y}}} \tilde{\textbf{V}}_{\scriptscriptstyle{\tilde{Y}}}^{\scriptscriptstyle H}\), Où \(\tilde{\textbf{U}}_{\scriptscriptstyle{\tilde{Y}}} =[\tilde{\textbf{U}}_{\scriptscriptstyle{s}}, \tilde{\textbf{U}}_{\scriptscriptstyle{n}}]=[\tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle{1}}, \tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle{2}}, \cdots, \tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle {N_{\scriptscriptstyle{\mathrm{a}}}}}]\) est la matrice formée à partir du vecteur singulier gauche de dimensions \(N_{\scriptscriptstyle{\mathrm{a}}} \times N_{\scriptscriptstyle{\mathrm{a}}}\), \(\tilde{\textbf{V}}_{\scriptscriptstyle{\tilde{Y}}}\) est la matrice formée à partir du vecteur singulier droit de dimensions \(F\times F\), \(\tilde{\mathbf{\Sigma}}_{\scriptscriptstyle{\tilde{Y}}} \in \mathbb{R}^{\scriptscriptstyle{N_{\mathrm{a}}\times F}}\) est la matrice de valeurs singulières avec des valeurs singulières \(\tilde{\sigma_{i}}\), et matrices carrées \(\tilde{\textbf{U}}_{\scriptscriptstyle{\tilde{Y}}}\) et à la \(\tilde{\textbf{V}}_{\scriptscriptstyle{\tilde{Y}}}\) sont des matrices unitaires. Si \(N_{\scriptscriptstyle{\mathrm{a}}} > K\), le sous-espace \(\tilde{\textbf{U}}_{{\scriptscriptstyle s}}\) avec est étendu à partir de la matrice singulière gauche \(\tilde{\textbf{U}}_{\scriptscriptstyle \tilde{Y}}\) équivaut à \(\tilde{\textbf{C}}(\theta, \phi)\), qui représente l'extraction des éléments de la ligne 1 à la ligne \(N_{\scriptscriptstyle \mathrm{a}}\) of \(\textbf{C}(\theta, \phi)\). Puis laissez \({\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle \tilde{Y}\tilde{Y}}=\tilde{\textbf{Y}}\tilde{\textbf{Y}}^{\scriptscriptstyle H}\) et satisfaire \({\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle\tilde{Y}\tilde{Y}}\tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle i}=\tilde{\sigma}^{\scriptscriptstyle 2}_{\scriptscriptstyle i}\tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle i}\), \(i=1, 2, \cdots, N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}\). Pour réaliser l'approximation de Nyström, la matrice de corrélation \({\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle{{Y}\tilde{Y}}}={\textbf{Y}}\tilde{\textbf{Y}}^{\scriptscriptstyle H}\) avec cotes \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\times N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}\) est donné par

\[\begin{equation*} \textbf{R}_{\scriptscriptstyle{{Y}\tilde{Y}}}=\textbf{C}(\theta,\phi)\textbf{D} \tilde{\textbf{C}}^{\scriptscriptstyle H}(\theta, \phi)+\sigma^{\scriptscriptstyle 2}_{\scriptscriptstyle n} \textbf{I}_{\scriptscriptstyle{(MN)^{\scriptscriptstyle 2}\times N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}}} \tag{7} \end{equation*}\]

De \(\textbf{I}_{\scriptscriptstyle{(MN)^{\scriptscriptstyle 2}}\times N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}}\) est une matrice avec \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\times N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}\) dimensions et éléments diagonaux de 1 ; les éléments restants sont 0. Le principal vecteur singulier gauche de \(\textbf{Y}\), \(\{\textbf{u}_{\scriptscriptstyle 1},\textbf{u}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots,\textbf{u}_{\scriptscriptstyle K}\}\), a un vecteur approximatif \(\{\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 1},\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots,\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle K}\}\) qui satisfait \({\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle{{Y}\tilde{Y}}}\tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle i}=\tilde{\sigma}^{\scriptscriptstyle 2}_{\scriptscriptstyle i}\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle i}\). Le vecteur approximatif de \(\{\textbf{u}_{\scriptscriptstyle 1},\textbf{u}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots,\textbf{u}_{\scriptscriptstyle K}\}\) peut être en outre exprimé comme \(\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle i}=(1/{\tilde{\sigma}}^{\scriptscriptstyle 2}_{\scriptscriptstyle i}){\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle{{Y}\tilde{Y}}}\tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle i}\). Si \(\{\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 1},\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots,\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle K}\}\) Représente le \(K\) approximer les principaux vecteurs singuliers (vecteurs propres) de \(\textbf{R}_{\scriptscriptstyle{YY}}\), puis le sous-espace du signal AKR (défini comme \(\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}\)) peut être exprimé comme \(\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}=[\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 1},\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots,\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle K}]\). En raison de l'orthogonalité des vecteurs singuliers, \(\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}\textbf{Ȗ}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle s}+\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle n}\textbf{Ȗ}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}=\textbf{I}_{\scriptscriptstyle{(MN)^{\scriptscriptstyle 2}}}\). Selon le théorème unitaire [3], la matrice de projection orthogonale des sous-espaces de bruit AKR peut être exprimée comme \(\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle n}\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle n}^{\scriptscriptstyle H}=\textbf{I}_{\scriptscriptstyle{(MN)^{\scriptscriptstyle 2}}}-\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}^{{\scriptscriptstyle H}}\). La matrice de projection du sous-espace de bruit AKR est extraite en suivant les étapes suivantes :

  • Étape 1. Obtenir \(\textbf{Y}\) et sélectionnez un \(N_{\scriptscriptstyle \mathrm{a}}\) qui satisfait \(N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}>K\) construire \(\tilde{\textbf{Y}}\).
  • Étape 2. Déterminer \(\{\tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle i}, \tilde{\sigma}_{\scriptscriptstyle i}\}^{\scriptscriptstyle N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}}_{\scriptscriptstyle{i=1}}\) en effectuant un SVD sur \(\tilde{\textbf{Y}}\).
  • Étape 3. Calculer \({{\textbf{R}}}_{\scriptscriptstyle{{Y}\tilde{Y}}}={\textbf{Y}}\tilde{\textbf{Y}}^{\scriptscriptstyle H}\).
  • Étape 4. Calculer \(\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle i}=(1/{\tilde{\sigma}}^{\scriptscriptstyle 2}_{\scriptscriptstyle i}){\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle{{Y}\tilde{Y}}}\tilde{\textbf{u}}_{\scriptscriptstyle i}\) et utiliser les vecteurs singuliers correspondant au premier \(K\) plus grandes valeurs singulières à construire \(\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}=[\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 1},\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots,\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle K}]\).
  • Étape 5. Calculer \(\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle n}\textbf{Ȗ}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}=\textbf{I}_{\scriptscriptstyle{(MN)^2}}-\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}\textbf{Ȗ}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle s}\).

Enfin, l'étape 3 des étapes de mise en œuvre de KR-MUSIC est remplacée par les étapes d'extraction de la projection des sous-espaces de bruit AKR, et la fonction utilisée à l'étape 4 de KR-MUSIC est remplacée par la fonction de recherche spectrale suivante :

\[\begin{equation*} P_{\scriptscriptstyle\mathrm{AKR-M}}(\hat\theta,\hat\phi)=\mathrm{Max}[\textbf{c}^{\scriptscriptstyle H} (\theta,\phi)\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle n} \textbf{Ȗ}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}\textbf{c}(\theta,\phi)]^{\scriptscriptstyle{-1}} \tag{8} \end{equation*}\]

Ensuite, l’AKR-MUSIC obtenu peut être utilisé pour estimer efficacement DOA et DOD.

4. Analyse de la complexité informatique

Dans cette section, le nombre de multiplications complexes (CM) du KR-MUSIC et de l'AKR-MUSIC sont évalués. En supposant \(K\) cibles, \(N\) antennes de réception, \(M\) antennes d'émission, et \(F\) cadres. Pour chaque test, les complexités informatiques liées au calcul de la SVD pour un \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\times F\) la matrice de corrélation nécessite \(12(MN)^{\scriptscriptstyle 6}\) CM [10]. De plus, la complexité informatique du calcul \(\{\hat{\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle f}\}^{\scriptscriptstyle F}_{\scriptscriptstyle{f=1}}\) pour un \(MN\times Q\) matrice nécessite \(F[(MN)^{\scriptscriptstyle 2}Q]\) CM. Laisser \(F_{\scriptscriptstyle\theta}\) et à la \(F_{\phi}\) être le nombre de recherches pour \(\theta\) et à la \(\phi\), respectivement. Les fonctions de recherche du KR-MUSIC et de l'AKR-MUSIC sont respectivement (6) et (8). Par conséquent, les CM requis du KR-MUSIC et de l'AKR-MUSIC sont \(F_{\scriptscriptstyle\theta}F_{\scriptscriptstyle\phi}\{2(MN)^{\scriptscriptstyle 2}[(MN)^{\scriptscriptstyle 2}-K]+(MN)^{\scriptscriptstyle 2}\}\) et à la \(F_{\scriptscriptstyle\theta}F_{\scriptscriptstyle \phi}\{(MN)^{\scriptscriptstyle 4}+(MN)^{\scriptscriptstyle 2}\}\), respectivement. En particulier, l'AKR-MUSIC calcule le SVD de la matrice \(\tilde{\textbf{Y}}\) des \(N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}\times F\) dimension et nécessite \(12N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}^{{\scriptscriptstyle 3}}\) CM. La matrice \({\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle{{{Y}}\tilde{Y}}}={\textbf{Y}}\tilde{\textbf{Y}}^{\scriptscriptstyle H}\) et le sous-espace du signal AKR \(\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}=[\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 1},\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle 2}, \cdots,\textbf{ȗ}_{\scriptscriptstyle K}]\) sont calculés, ce qui nécessite \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}FN_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}\) et à la \(K[2(MN)^{\scriptscriptstyle 2}N_{\scriptscriptstyle \mathrm{a}}]\) CM, respectivement. Calcul de la matrice de projection \(\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle n} \textbf{Ȗ}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle n}=\textbf{I}_{\scriptscriptstyle{(MN)^{\scriptscriptstyle 2}}}-\textbf{Ȗ}_{\scriptscriptstyle s}\textbf{Ȗ}^{\scriptscriptstyle H}_{\scriptscriptstyle s}\) du sous-espace de bruit AKR nécessite \((MN)^{\scriptscriptstyle 4}K\) CM. En bref, les CM requis sont répertoriés dans le tableau 1.

Tableau 1  Analyse de la complexité informatique.

5. Résultats des simulations

Les résultats des simulations informatiques ont été utilisés pour comparer les performances des estimateurs proposés AKR-MUSIC, KR-MUSIC, MVDR [2], MUSIC [3] et ESPRIT-root-MUSIC [4]. Pour toutes les simulations, le nombre de cibles aériennes non corrélées est \(K=9\), leurs DOA et DOD dans les radars bistatiques sont \((\theta_{\scriptscriptstyle 1}, \phi_{\scriptscriptstyle 1})=(-20^{\circ}, -55^{\circ})\), \((\theta_{\scriptscriptstyle 2}, \phi_{\scriptscriptstyle 2})=(-10^{\circ}, 35^{\circ})\), \((\theta_{\scriptscriptstyle 3}, \phi_{\scriptscriptstyle 3})=(0^{\circ}, -25^{\circ})\), \((\theta_{\scriptscriptstyle 4}, \phi_{\scriptscriptstyle 4})=(10^{\circ}, 15^{\circ})\), \((\theta_{\scriptscriptstyle 5}, \phi_{\scriptscriptstyle 5})=(20^{\circ}, -5^{\circ})\), \((\theta_{\scriptscriptstyle 6}, \phi_{\scriptscriptstyle 6})=(30^{\circ}, 45^{\circ})\), \((\theta_{\scriptscriptstyle 7}, \phi_{\scriptscriptstyle 7})=(40^{\circ}, -5^{\circ})\), \((\theta_{\scriptscriptstyle 8}, \phi_{\scriptscriptstyle 8})=(50^{\circ}, 25^{\circ})\), \((\theta_{\scriptscriptstyle 9}, \phi_{\scriptscriptstyle 9})=(60^{\circ}, 5^{\circ})\). Sauf indication contraire, l'estimation DOA et DOD pour les cibles non surchargées donne en \(M=5\) et à la \(N=3\). Notamment, le scénario satisfait à la condition cible de non-surcharge de \((MN-1)>K\). Pour les cibles surchargées, l'estimation DOA et DOD donne en \(M=3\) et à la \(N=3\), qui satisfait la condition cible surchargée de \((MN-1)<K\). Le numéro d'instantané de chaque image dans le KR-MUSIC est fixé à \(Q=600\), et le numéro de trame est \(F=10^{\scriptscriptstyle 2}\). Le rapport signal/bruit (SNR) du signal de réflexion cible est \(\mathrm{SNR}=10\log_{\scriptscriptstyle 10}E[s_{\scriptscriptstyle k}(t)^{\scriptscriptstyle 2}]/{\sigma}^{\scriptscriptstyle 2}_{\scriptscriptstyle n}\). L'angle de la grille de recherche spectrale MVDR et MUSIC a été défini \(\mu=0.1^{\circ}\) et le KR-MUSIC et l'AKR-MUSIC étaient réglés sur \(\mu=1^{\circ}\). L'intervalle entre les composants de l'antenne est d'une demi-longueur d'onde et tous les éléments du réseau sont supposés avoir un gain unitaire omnidirectionnel. L’erreur quadratique moyenne totale (TRMSE) de l’estimation DOA et DOD de \(K\) cibles, \(\mathrm{TRMSE}=\sum^{\scriptscriptstyle K}_{\scriptscriptstyle {k=1}}[(\hat{\theta}_{\scriptscriptstyle k}-{\theta}_{\scriptscriptstyle k})^{\scriptscriptstyle 2}+(\hat{\phi}_{\scriptscriptstyle k}-{\phi}_{\scriptscriptstyle k})^{\scriptscriptstyle 2}]^{\scriptscriptstyle{0.5}}\), a été adopté comme indicateur de performance, et \(10^{\scriptscriptstyle 3}\) Des tests de Monte Carlo ont été réalisés avec différents réglages de paramètres.

La figure 1 représente les performances de l'AKR-MUSIC en révélant les numéros de dimension \(N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}\) des tableaux de données reçus en sortie avec des cibles non surchargées et surchargées à \(\mathrm{SNR}=15\) dB. Pour prendre en charge l'évaluation des performances, les résultats de la simulation utilisent les performances du KR-MUSIC comme référence de comparaison. En raison de l'utilisation d'une approximation, le nombre de dimensions est passé de \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\times (MN)^{\scriptscriptstyle 2}\) à \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\times N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}\), cela indique clairement que AKR-MUSIC a un TRMSE de \(5\times 10^{\scriptscriptstyle{-3}}\) in \(N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}\geq 10\) avec des cibles à la fois non surchargées et surchargées. Les performances de l'AKR-MUSIC sont à peu près comparables à celles du KR-MUSIC. Ainsi, dans le processus de simulation suivant, \(N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}=12\) a été sélectionné pour l'AKR-MUSIC afin de minimiser la charge de calcul. La figure 2 présente la comparaison des performances d'estimation d'angle des estimateurs sous différents SNR. Avec des cibles non surchargées, MUSIC, dans lequel une relation orthogonale existe entre le sous-espace de bruit et le vecteur de direction d'incidence, présentait des performances d'estimation supérieures à celles du MVDR lorsque le SNR était faible. ESPRIT-root-MUSIC atteint des performances d'estimation favorables grâce à son approche de recherche de racine, qui n'a pas de limite de résolution. Cependant, ce chiffre révèle que si \(\mathrm{SNR}\geq 10\) dB, les performances de l'AKR-MUSIC et du KR-MUSIC sont similaires. Avec des cibles surchargées, les méthodes conventionnelles ont de mauvaises performances d'estimation car elles ne peuvent gérer que \(MN-1\) cibles. En revanche, le KR-MUSIC et l'AKR-MUSIC fonctionnent normalement malgré la surcharge. La figure 3 présente le TRMSE de l'estimation DOA et DOD avec divers nombres d'instantanés à \(\mathrm{SNR}=15\) dB pour révéler la convergence de l’estimateur. L'AKR-MUSIC proposé adopte une approximation sous-spatiale, ce qui conduit à une convergence plus lente par rapport au KR-MUSIC. Il présente non seulement des performances de calcul améliorées, mais permet également d'obtenir des performances d'estimation d'angle favorables. La figure 4 présente une évaluation de la complexité informatique à l'aide des instructions TIC et TOC dans MATLAB. Pour chaque trace de Monte-Carlo, le calcul du temps CPU (en secondes) de chaque estimateur a démarré au calcul de \(\{\hat{\textbf{R}}_{\scriptscriptstyle f}\}^{\scriptscriptstyle F}_{\scriptscriptstyle{f=1}}\) et se termine au sous-espace de bruit de sortie ou à la matrice de projection orthogonale. Supposons que le nombre d'antennes d'émission \(M\) est le même que le nombre d'antennes de réception \(N\). Le temps CPU moyen est tracé en fonction du nombre d'antennes (\(M\) or \(N\)) avec \(N_{\scriptscriptstyle\mathrm{a}}=\{12, 30, 60\}\). Comme résultat de la figure 4, nous pouvons observer que le temps CPU moyen de tous les AKR-MUSIC est inférieur au temps CPU moyen du KR-MUSIC, en particulier lorsque l'antenne devient plus grande. Encore une fois, ce chiffre est présenté pour vérifier l’efficacité de l’AKR-MUSIC.

Fig. 1  TRMSE par rapport au nombre de dimensions.

Fig. 2  TRMSE contre SNR.

Fig. 3  TRMSE par rapport au nombre d'instantanés.

Fig. 4  Temps de calcul en fonction du nombre d'antennes.

6.Conclusion

Une méthode d'estimation conjointe DOA et DOD basée sur les sous-espaces KR pour les radars bistatiques MIMO a été proposée dans cette lettre. Le procédé consiste à implémenter SVD sur des matrices de corrélation vectorisées en dimension partielle. Le KR-MUSIC est supérieur aux estimateurs conventionnels pour le traitement de cibles surchargées. Cependant, cela implique une charge de calcul considérablement accrue en raison de l'augmentation des dimensions de la matrice de \(MN\) à \((MN)^{\scriptscriptstyle 2}\). Pour réduire la charge de calcul tout en conservant les avantages du traitement des cibles surchargées, l'AKR-MUSIC augmente les capacités analytiques et augmente l'efficacité du calcul pour les cibles surchargées. Les résultats de la simulation ont vérifié l'efficacité de l'AKR-MUSIC proposé.

Remerciements

Les auteurs souhaitent remercier les évaluateurs anonymes pour leurs critiques et suggestions utiles.

Références

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[10] G.H. Golub and C.H. van Loan, Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, USA, 1996.

Auteurs

Chih-Chang SHEN
  Ling Tung University
Jia-Sheng LI
  Ling Tung University

Mots-clés