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On the Check of Accuracy of the Coefficients of Formal Power Series Sur le contrôle de l'exactitude des coefficients des séries de puissances formelles

Takuya KITAMOTO, Tetsu YAMAGUCHI

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Résumé:

Laisser nous M(y) être une matrice dont les entrées sont polynomiales dans y, λ(y) et v(y) être un ensemble de valeurs propres et de vecteurs propres de M(y). Alors, λ(y) et v(y) sont des fonctions algébriques de y, et λ(y) et v(y) ont leurs extensions en séries entières
λ(y) = β0 + β1 y + + βk yk + (bj C),(1)
v(y) = y0 + y1 y + + yk yk + j Cn), (sept)
à condition que y=0 n’est pas un point singulier de λ(y) ou v(y). Plusieurs algorithmes sont déjà proposés pour calculer les développements en séries entières ci-dessus en utilisant la méthode de Newton (l'algorithme de [4]) ou la construction de Hensel (l'algorithme de [5], [12]). Les algorithmes proposés jusqu'à présent calculent des coefficients β de haut degrék et γk, en utilisant des coefficients de degré inférieur βj et γj (j= 0,1,,k-1). Ainsi, avec l'arithmétique à virgule flottante, les erreurs numériques dans les coefficients peuvent s'accumuler sous forme d'indice k augmente. Cela peut entraîner une grave détérioration de la précision numérique des coefficients β de haut degré.k et γk, et nous devons vérifier l'exactitude. Dans cet article, nous supposons que la matrice donnée M(y) n’a pas plusieurs valeurs propres à y=0 (cela implique que y=0 n’est pas un point singulier de λ(y) ou v(y)), et présente un algorithme pour estimer la précision de la série de puissances calculée βij en (1) et (2). Le processus d'estimation utilise l'idée de [9] qui calcule un coefficient d'une série entière avec la formule intégrale de Cauchy et des intégrations numériques. Nous présentons une implémentation efficace de l'algorithme qui utilise la méthode de Newton. Nous présentons également une modification de la méthode de Newton pour accélérer la procédure, en introduisant le paramètre de réglage p. Les expériences numériques de l'article indiquent que nous pouvons améliorer les performances de l'algorithme de 1216 %, en choisissant le paramètre de réglage optimal p.

Publication
IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals Vol.E91-A No.8 pp.2101-2110
Date de publication
2008/08/01
Publicisé
ISSN en ligne
1745-1337
DOI
10.1093/ietfec/e91-a.8.2101
Type de manuscrit
PAPER
Catégories
Analyse numérique et optimisation

Auteurs

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